Propriétés algébriques

Pr opositions

Soit \(\theta\) et \(\theta'\)  des réels et soit \(n \in \mathbb{Z}\) . On a les propriétés suivantes :

1. \(\text e^{i\theta} \times \text e^{i\theta'}=\text e^{i(\theta+\theta')}\)

2. \(\dfrac{\text e^{i\theta}}{\text e^{i\theta'}}=\text e^{i(\theta-\theta')}\)

3. \(\left(\text e^{i\theta}\right)^n=\text e^{in\theta}\)

Démonstration

1. On a :
\(\begin{align*}\text e^{i\theta} \times \text e^{i\theta'}& = \left(\cos(\theta)+i\sin(\theta) \right)\left( \cos(\theta')+i\sin(\theta') \right)\\& = \cos(\theta)\cos(\theta')+i\cos(\theta)\sin(\theta')+i\sin(\theta)\cos(\theta')+i^2\sin(\theta)\sin(\theta')\\& = \underbrace{\cos(\theta)\cos(\theta')-\sin(\theta)\sin(\theta')}_{=\cos(\theta+\theta')} +i \underbrace{\left[ \sin(\theta)\cos(\theta')+\sin(\theta')\cos(\theta) \right]}_{=\sin(\theta+\theta')}\\& = \cos(\theta+\theta')+i\sin(\theta+\theta')\\& = \text e^{i(\theta+\theta')}\end{align*}\)
donc \(\text e^{i\theta} \times \text e^{i\theta'}=\text e^{i(\theta+\theta')}\) .

2. Comme \(\dfrac{1}{\text e^{i\theta'}}=\text e^{-i\theta'}\) , en utilisant de plus la propriété 1 , on a 
\(\begin{align*}\dfrac{\text e^{i\theta}}{\text e^{i\theta'}}=\text e^{i\theta} \times \frac{1}{\text e^{i\theta'}}=\text e^{i\theta} \times \text e^{-i\theta'}=\text e^{i(\theta+(-\theta'))}=\text e^{i(\theta-\theta')}\end{align*}\)
donc \(\dfrac{\text e^{i\theta}}{\text e^{i\theta'}}=e^{i(\theta-\theta')}\) .

3. Pour \(n \in \mathbb{N}\) , on note \(\mathcal{P}(n)\) la propriété : \(\left(\text e^{i\theta}\right)^n=\text e^{in\theta}\) .

Initialisation
Montrons que \(\mathcal{P}(0)\) est vraie, c'est-à-dire : \(\left(\text e^{i\theta}\right)^0=\text e^{0i}\) .  
D'une part : \(\left(\text e^{i\theta}\right)^0=1\) .
D'autre part : \(\text e^{0i}=\cos(0)+i\sin(0)=1\) .
La propriété \(\mathcal{P}(0)\) est donc vraie.

Hérédité
\(n \in \mathbb{N }\) . On suppose qu'il existe un entier tel que \(\mathcal{P}(n)\) est vraie.
Montrons que \(\mathcal{P}(n+1)\) est vraie, c'est-à-dire : \(\left(\text e^{i\theta}\right)^{n+1}=\text e^{i(n+1)\theta}\) .
On a :
\(\begin{align*}\left(\text e^{i\theta}\right)^{n+1}& = \left(\text e^{i\theta}\right)^{n} \times \text e^{i\theta}\\& = e^{in\theta} \times \text e^{i\theta} \ \ \text{ par hypothèse de récurrence,}\\& = \text e^{i(n+1)\theta} \ \ \text{ d'après la propriété 1.}\end{align*}\)
La propriété \(\mathcal{P}(n+1)\) est donc vraie.

Conclusion
\(\mathcal{P}(n)\) est initialisée à  \(n=0\) et est héréditaire à partir du rang 0 , elle est donc vraie pour tout \(n \in \mathbb{N}\) .

Il reste à montrer que \(\left(\text e^{i\theta}\right)^n=\text e^{in\theta}\) pour tout \(n \in \mathbb{Z} \setminus \mathbb{N}\) .

Soit  \(n \in \mathbb{Z} \setminus \mathbb{N}\) . Ainsi \(-n \in \mathbb{N}\)  donc, d'après ce qui précède, \(\left(\text e^{i\theta}\right)^{-n}=\text e^{-in\theta}\) .

On a alors :
\(\begin{align*}\left(\text e^{i\theta}\right)^n& = \frac{1}{\left(\text e^{i\theta}\right)^{-n}}= \frac{1}{\text e^{-in\theta}}= \text e^{in\theta}\end{align*}\)
donc \(\left(\text e^{i\theta}\right)^n=\text e^{in\theta}\) .